절대적 무한

絶對的 無限, absolute infinite
절대적 무한이란, 게오르그 칸토어가 정의한 개념으로, 모든 초한수 가운데서도 가장 큰 무한을 일컫는다.#

참고로 가장 큰 서수는 그 자체로 모순이므로, 자연스레 이 보다 더 큰 기수가 되는데, 이 또한 ZFC 공리계를 비롯한 대부분의 표준 공리적 집합론에서 모순이다. 사실 여기까지 갈 것도 없이, 칸토어의 소박한 집합론에서도 자기 자신을 원소로 가지는 집합은 존재할 수 없다.

체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)가 1897년에 발견한 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)에 따르면, 모든 순서수의 모임은 집합을 이룰 수 없다. 가장 큰 서수라는 개념이라는 게 그 자체로 모순이기 때문이다.

존 폰 노이만을 따라서, 순서수 $\omega$를 $\omega$보다 작은 순서수들의 집합으로 정의하자. 예를 들어, $0=\varnothing, 1=\{0\}, 2=\{0, 1\}, ...$따위이다. 모든 순서수의 모임 $\mathrm{On}$이 집합이라고 하자. 그렇다면 $\mathrm{On}$자체도 또한 순서수가 된다. 따라서 그 바로 다음 수 $\mathrm{On}+1$이 존재하고, 이는 $\mathrm{On}$보다 크다. 그러나, $\mathrm{On}$은 모든 순서수를 포함하므로 $\mathrm{On}+1$도 그 원소가 되며, 다음의 역설이 발생한다.

$\mathrm{On}<\mathrm{On}+1<\mathrm{On}$

따라서, 모든 순서수의 모임은 집합이 될 수 없다.

이를 발견한 체사레 부랄리포르티(이탈리아어: Cesare Burali-Forti)의 이름을 따 부랄리포르티 역설(Burali-Forti paradox)이라고 한다.

다만, 콰인의 새 기초론(New Foundations)에 의하면, 모든 집합들의 집합을 허용하면서 러셀의 역설도 회피할 수 있다.#

원초(Urelement)의 존재를 허용하는, 새 기초론의 중요한 변형 중 하나인 NF(U)에서는 페아노 산술과의 상대적 무모순성도 증명된다.

참고로 게오르그 칸토어가 절대적 무한(Absolute Infinite, 기호: Ω)과 구분하기 위해 상대적 무한(Relative Infinite, 기호: ω)에 붙인 이름이 바로 초한수(Transfinite number)다.

Ω과 ω는 각각 그리스 문자 오메가의 대문자와 소문자이다.